Исследование показывает существование катастрофы ласточкиного хвоста в неэрмитовых системах
Исследователи из Гонконгского университета науки и технологии, Сянтанского университета и Южного университета науки и технологии недавно обнаружили возможную связь между теорией катастроф, областью математики, которая фокусируется на моделировании внезапных изменений (то есть катастроф) и неэрмитовой физикой. Их статья, опубликованная в журнале Nature Physics, показывает, что структурно богатое вырождение, известное как катастрофа ласточкиного хвоста, может естественным образом существовать в неэрмитовых системах.
На рисунке показано важное явление перехода, заключающееся в том, что пара исключительных линий третьего порядка (EL3) может переходить в исправную линию пересечения (NIL) и узловую линию (NL) через точку встречи (MP). Это связано с тем, что петля lα, окружающая двойные EL3, несет тот же топологический инвариант, что и lβ, окружающая NIL и NL вместе. Таким образом, мы можем понять, что переход топологически защищен. Кредит: Ху и др.
«Наша работа была вдохновлена предыдущими исследованиями, в которых использовалась гомотопическая теория для классификации топологических сингулярностей, метод, что использовался для изучения дефектов в жидких кристаллах, таких как дисклинации и дислокации», — сказал Хунвэй Цзя, один из исследователей, проводивших исследование. Phys.org. «Теория гомотопий также применялась в теории зон для исследования неабелевой топологии лент. Основываясь на этих предыдущих работах, мы стремились расширить подход к пониманию сингулярностей (проявляющихся в виде вырождений, называемых исключительными точками) в неэрмитовых системах».
По сути, Цзя, Чан и их коллеги намеревались применить концепцию вращения системы отсчета собственного вектора вдоль петли, окружающей сингулярность (то есть точку, в которой функция «скачет» или «схлопывается») к неэрмитовым системам. В то время как в других недавних исследованиях эрмитовых систем собственные векторы были действительными и ортогональными, образуя ортонормированную основу евклидова пространства, применение этого вращения системы отсчета собственных векторов к неэрмитовым системам создает ряд проблем.
«В этих неэрмитовых системах собственные векторы не ортогональны, потому что ортогональное отношение собственных векторов определяется неопределенным скалярным произведением типа Минковского. Таким образом, вдоль замкнутого пути репер собственных векторов не только вращается, но и деформируется. В частности, когда путь сталкивается с исключительными поверхностями, собственные векторы сливаются», — объяснил Цзя.
«Это представляет собой серьезную проблему, поскольку обычные гомотопические петли никогда не пересекаются через вырождения. Но этого нельзя избежать в нашем случае, поскольку рассматриваемые линии вырождения полностью вложены в исключительные поверхности. В решении этих математически сложных трудностей мы обратились за помощью к математику Ифэй Чжу. Это сотрудничество между физиками и математиками привело к новому пониманию топологических свойств сингулярностей в неэрмитовых системах».
В сотрудничестве с Чжу, Цзя, Чанем и их коллегами приступили к изучению возникновения вырождений, называемых исключительными поверхностями, изолированными и неизолированными особенностями, в неэрмитовых системах, а также зависимости этих вырождений от симметрии. Для этого они отслеживали нули в дискриминанте характеристического полинома гамильтоновых матриц при определенных симметриях в пространстве параметров.
«Мы провели множество математических экспериментов с использованием различных инструментов, таких как математическое программное обеспечение, бумажные модели и 3D-печать», — сказал Цзя. «Проанализировав явные примеры гамильтонианов с определенными симметриями, мы обнаружили, что появление этой сингулярности является универсальным в неэрмитовых системах с выбранными нами симметриями. Мы также продемонстрировали, что могут быть исключительные линии третьего порядка (EL3) в точках возврата исключительные поверхности, недефектные линии пересечения (NIL), где исключительные поверхности пересекаются поперечно, и узловые линии (NL), изолированные от исключительных поверхностей».
Эксперименты и расчеты, проведенные Цзя и его коллегами, дали несколько интересных результатов. Во-первых, команда обнаружила, что отдельные линии вырождения, которые они наблюдали, всегда могут быть стабильно соединены в одной точке встречи и что эта уникальная структура защищена симметрией.
На этом рисунке мы видим, что это комбинированная структура из четырех ласточкиных хвостов. Такая интересная структура может образоваться потому, что петля, охватывающая две узловые линии (NL), топологически эквивалентна петле, охватывающей четыре исключительные линии третьего порядка (EL3). В настоящее время это невозможно продемонстрировать, и для решения этой задачи необходим более мощный математический аппарат. Кредит: Ху и др.
«Мы заметили, что исключительные поверхности пересекаются в конфигурации ласточкиного хвоста, что напоминает катастрофу ласточкиного хвоста в математике и теории катастроф (в частности, в классификации ADE)», — сказал Цзя. «Однако существуют заметные различия между нашим случаем и катастрофой ласточкиного хвоста в классификации ADE, поскольку последняя описывается путем изучения геометрического места множественных корней многочлена четвертой степени, тогда как наш случай возникает из изучаемых нами симметрий, которые кодируют информацию об эволюции собственных векторов."
Недавняя работа этой группы исследователей устанавливает связь между математической теорией катастроф и неэрмитовой физикой, двумя областями исследований, которые ранее считались несвязанными. Используя гомотопические методы, команда попыталась получить топологическое понимание неизолированных особенностей в неэрмитовых системах.
Цзя и его коллеги в конечном итоге раскрыли несколько интересных новых переходов, происходящих в структуре ласточкиного хвоста наблюдаемой ими катастрофы. Примечательно, что эти противоречащие интуиции явления перехода защищены способами, которые еще не были выявлены в предыдущих исследованиях.
«Эта работа — результат сотрудничества между мной и другим физиком Че Тинг Чаном и математиком Ифэй Чжу», — сказал Цзя. «Введение Ифэем теории гомотопии пересечений имеет решающее значение для решения проблемы. Мы объединили нашу теорию деформации и вращения собственной системы координат с гомотопией пересечений и успешно продемонстрировали явление перехода в ласточкин хвост. Наши дополнительные знания позволят продолжить изучение этой неизведанной области исследований».
Катастрофа ласточкиного хвоста, которую Цзя и его коллеги наблюдали в неэрмитовых зонах, представляет собой совершенно новый тип топологической бесщелевой фазы. Дальнейшие исследования этой фазы потенциально могут открыть новые физические явления и эффекты. В настоящее время исследователи проводят исследования, посвященные двум интригующим явлениям, первым из которых является соответствие объем-край в этом новом типе бесщелевой фазы.
«Мы изучаем, могут ли фазы без зазоров, присущие структуре ласточкиного хвоста, также поддерживать топологические граничные состояния», — сказал Цзя. «Второе явление, которое мы изучаем, — это нетрадиционная дуга объемного Ферми, которая связывает пару исключительных линий третьего порядка в парных точках возврата».
Помимо информации для будущих исследований в области физики, результаты, полученные этой группой исследователей, могут привести к новым исследованиям в области математики. Цзя и его коллеги считают, что математическая составляющая их работы все еще носит случайный и незавершенный характер, и они планируют продолжить её развитие в своих следующих работах.
«Теоретически, несмотря на то, что объекты исследования уже можно сформулировать чисто математически (в классификации ADE), эта формулировка дает только внешне сопоставимую структуру, в то время как основные характеристики сильно отличаются от текущего случая», — пояснил Цзя. «Например, точка встречи ласточкиного хвоста в классификации ADE — это исключительная точка четвертого порядка, но точка встречи современного ласточкиного хвоста — это тройное вырождение, дающее два линейно независимых собственных состояния.
«Это было бы настоящим вызовом и возможностью получить математически систематические, физически значимые и экспериментально реализуемые структуры под этой верхушкой айсберга является мощным инструментом для понимания таких неизолированных сингулярностей как в физике, так и в математике».
