Геометрическая форма, которая не повторяется при замощении плиткой
Квартет математиков из Йоркширского университета, Кембриджского университета, Университета Ватерлоо и Университета Арканзаса обнаружил двумерную геометрическую форму, которая не повторяется при мозаичном построении. Дэвид Смит, Джозеф Сэмюэл Майерс, Крейг Каплан и Хаим Гудман-Штраус написали статью, описывающую, как они открыли уникальную форму и возможное ее использование. Полная версия их статьи доступна на сервере препринтов arXiv.
Поликитовая плитка серой «шляпы» — это «эйнштейн», апериодическая моноплитка. Другими словами, копии этой плитки могут быть собраны в мозаики плоскости (плитка «допускает» мозаики), но копии плитки не могут образовывать периодические мозаики, мозаики, обладающие трансляционной симметрией. На самом деле плитка допускает несчетное количество замощений.
Кредит: arXiv (2023). DOI: 10.48550/arxiv.2303.10798
Когда люди укладывают плитку на пол, они, как правило, используют простые геометрические формы, которые позволяют создавать повторяющиеся узоры, такие как квадраты или треугольники. Однако иногда людям нужны узоры, которые не повторяются, но представляют собой проблему, если используются одни и те же типы фигур. В этой новой работе исследовательская группа обнаружила единую геометрическую форму, которая, если ее использовать для мозаичного покрытия, не будет создавать повторяющиеся узоры.
В соответствии со своим сценарием исследователи отметили, что мозаичное построение означает подгонку фигур друг к другу таким образом, чтобы не было перекрытий или пробелов. Мозаика, которая не имеет повторяющихся шаблонов, называется апериодической мозаикой и обычно достигается за счет использования нескольких форм плитки. В течение многих лет математики изучали идею создания фигур, которые можно было бы использовать для создания бесконечного множества узоров при укладке плиткой.
Результатом одной из первых попыток стал набор из 20 426 плиток. За этим последовала разработка плитки Пенроуза еще в 1974 году, которая состоит из двух ромбов разной формы. С тех пор математики продолжали искать то, что стало известно как форма «эйнштейна» — единую форму, которую можно было бы использовать для апериодической мозаики.
Примечательно, что название происходит от фразы «один камень» на немецком языке, а не от известного физика. В этой новой работе исследовательская группа утверждает, что нашла неуловимую форму Эйнштейна и доказала ее математически.
Форма имеет 13 сторон, и команда называет ее просто «шляпой». Они нашли его, сначала сократив возможности с помощью компьютера, а затем изучив полученные меньшие наборы вручную. Как только у них появилась возможность, которую они считали хорошей, они проверили ее с помощью комбинаторной программы, а затем доказали, что форма апериодична , используя аргумент геометрической несоизмеримости. Исследователи заканчивают тем, что предполагают, что наиболее вероятное применение шляпы связано с искусством.
