Близкий родственник апериодической плитки "шляпа" оказался настоящей киральной апериодической моноплиткой
Математики из Йоркширского университета, Кембриджского университета, Университета Ватерлоо и Университета Арканзаса превзошли сами себя, найдя близкого родственника «шляпы» — уникальной геометрической формы, которая не повторяется при укладке мозаикой, т. е. истинно киральная апериодическая моноплитка. Дэвид Смит, Джозеф Сэмюэл Майерс, Крейг Каплан и Хаим Гудман-Штраус опубликовали статью с описанием своей новой находки на сервере препринтов arXiv.
14-сторонний многоугольник Tile(1, 1), показанный слева, является слабо киральной апериодической моноплиткой: если мы запретим мозаики, которые смешивают неотражаемые и отраженные плитки, то он допускает только непериодические мозаики. Изменяя его края, как показано, например, в центре и справа, мы получаем строго киральные апериодические моноплитки, называемые «спектрами», которые допускают только непериодические мозаики, даже когда разрешены отражения.
Кредит: arXiv (2023). DOI: 10.48550/arxiv.2305.17743
Всего три месяца назад те же четыре математика объявили о том, что стало известно в этой области как «форма Эйнштейна» — единая форма, которую можно использовать для апериодического замощения. Они назвали это «шляпой».
Находка оказалась последним шагом в 60-летних поисках такой формы. Предыдущие усилия привели к результатам с несколькими плитками, которые совсем недавно, в середине 1970-х годов, сократились до двух. Но с тех пор попытки найти форму Эйнштейна не увенчались успехом — до марта прошлого года, когда команда, занимающаяся этой новой попыткой, не сделала своего объявления.
Но другие специалисты в этой области указали, что форма, описанная командой, технически не является одной апериодической плиткой — она и ее зеркальное отображение являются двумя уникальными плитками, и обе необходимы для создания формы, описанной командой. По-видимому, соглашаясь с оценкой своих коллег, четверо математиков еще раз взглянули на свою форму и обнаружили, что, слегка изменив ее, потребность в ее зеркале больше не будет существовать, и она действительно представляет собой истинную форму Эйнштейна.
Примечательно, что название, использованное для описания формы, не является намеком на известного физика — оно происходит от немецкой фразы, означающей «один камень». Команда называет новую форму просто близкой родственницей шляпы. Они также отмечают, что они обнаружили, что изменение ребер недавно открытого многоугольника определенным образом создает целое семейство форм, называемых Спектрами — все строго киральные апериодические моноплитки.
